Problema 4b de la Subiectul III, considerată cea mai dificilă și cea mai frumoasă de la Evaluarea Națională 2026, i-a inspirat pe profesorii de matematică să publice numeroase rezolvări diferite – FOTO

Problema 4, subpunctul b), de la Subiectul al III-lea al probei de Matematică de la Evaluarea Națională 2026 a devenit, la câteva ore după încheierea examenului, unul dintre cele mai comentate exerciții în comunitatea profesorilor de matematică. Dacă pentru elevi a fost una dintre „pietrele de încercare” ale testului, pentru profesori s-a transformat într-o provocare intelectuală: pe rețelele de socializare, pe grupurile de specialitate și în lecții video au început să apară numeroase demonstrații diferite ale aceleiași probleme.

Exercițiul cerea demonstrarea relației AC² + BD² = 144 cm² într-o configurație geometrică în care două coarde perpendiculare ale unui cerc aveau anumite proprietăți date în enunț.

Iată problema:

„4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 6 cm. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt perpendiculare. Punctul M este mijlocul coardei AB și OM = 3cm.

a) Arată că AM = 3√3 cm.

b) Demonstrează că AC² + BD² =144 cm².

Profesorii au remarcat imediat că problema nu are o singură metodă de rezolvare, ci permite mai multe abordări, fiecare valorificând alte idei din geometria studiată în gimnaziu.

Chiar baremul oficial spune că există și alte soluții

Un detaliu important apare chiar în baremul publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (CNCE). În introducerea documentului este precizat faptul că la Subiectul al III-lea „pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.”

Precizarea este una standard în evaluările naționale, însă în cazul acestei probleme ea a devenit deosebit de relevantă. Profesorii au arătat că demonstrația oficială este doar una dintre numeroasele căi prin care se poate ajunge la rezultat.

Soluția oficială din barem

Rezolvarea propusă de CNCE introduce un punct diametral opus și folosește proprietățile unghiurilor înscrise în semicerc, ale coardelor și ale triunghiurilor dreptunghice pentru a demonstra relația cerută.

Este demonstrația pe baza căreia profesorii corectori evaluează lucrările, dar nu este singura acceptată.

Metoda diametrului opus

Una dintre cele mai populare rezolvări publicate după examen pornește de la construirea punctului diametral opus unuia dintre punctele figurii.

Din această construcție apar imediat unghiuri drepte și un trapez isoscel, iar egalitatea diagonalelor conduce elegant la concluzia că suma pătratelor segmentelor este egală cu pătratul diametrului cercului.

Mai mulți profesori au ajuns independent la această idee, iar demonstrațiile diferă doar prin modul în care justifică proprietățile folosite.

Construcții auxiliare ingenioase

Alte rezolvări completează figura inițială cu segmente sau paralele care nu apar în enunț.

Aceste construcții transformă configurația într-un ansamblu de triunghiuri dreptunghice sau trapeze isoscele, scoțând la iveală relații care nu sunt evidente la prima vedere.

În imaginile consultate de Edupedu pe rețelele de socializare, publicate de profesori, apar mai multe astfel de variante, fiecare folosind altă idee geometrică.

Demonstrația pur algebrică

Poate cea mai surprinzătoare dintre soluțiile apărute este una aproape lipsită de artificii geometrice.

Profesorul notează cu x o distanță necunoscută și exprimă toate segmentele implicate în funcție de această variabilă.

După aplicarea teoremei lui Pitagora în mai multe triunghiuri dreptunghice și dezvoltarea expresiilor, termenii care conțin x se reduc complet, iar rezultatul final devine

AC² + BD² = 144.

De ce este considerată o problemă „frumoasă”

În matematică, o problemă este apreciată nu doar prin gradul de dificultate, ci și prin bogăția ideilor pe care le permite.

Exercițiul de la Evaluarea Națională 2026 este un astfel de exemplu. Pornind de la aceeași figură și de la aceleași date, profesorii au ajuns la aceeași concluzie folosind demonstrații diferite: unele exclusiv geometrice, altele bazate pe construcții auxiliare, altele pe proprietăți ale cercului sau chiar pe calcule algebrice.

Faptul că în doar câteva ore după examen au apărut numeroase variante de rezolvare, prezentate în videoclipuri, pe table digitale, pe foi de lucru sau desenate de mână, arată interesul pe care această problemă l-a stârnit în comunitatea profesorilor.