Problema 4, subpunctul b), de la Subiectul al III-lea al probei de Matematică de la Evaluarea Națională 2026 a devenit, la câteva ore după încheierea examenului, unul dintre cele mai comentate exerciții în comunitatea profesorilor de matematică. Dacă pentru elevi a fost una dintre „pietrele de încercare” ale testului, pentru profesori s-a transformat într-o provocare intelectuală: pe rețelele de socializare, pe grupurile de specialitate și în lecții video au început să apară numeroase demonstrații diferite ale aceleiași probleme.
Exercițiul cerea demonstrarea relației AC² + BD² = 144 cm² într-o configurație geometrică în care două coarde perpendiculare ale unui cerc aveau anumite proprietăți date în enunț.
Iată problema:
„4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru O și raza de 6 cm. Punctele A, B, C și D aparțin cercului, astfel încât dreptele AB și CD sunt perpendiculare. Punctul M este mijlocul coardei AB și OM = 3cm.
a) Arată că AM = 3√3 cm.
b) Demonstrează că AC2 + BD2 =144 cm2.
Profesorii au remarcat imediat că problema nu are o singură metodă de rezolvare, ci permite mai multe abordări, fiecare valorificând alte idei din geometria studiată în gimnaziu.
Chiar baremul oficial spune că există și alte soluții
Un detaliu important apare chiar în baremul publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (CNCE). În introducerea documentului este precizat faptul că la Subiectul al III-lea „pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.”
Precizarea este una standard în evaluările naționale, însă în cazul acestei probleme ea a devenit deosebit de relevantă. Profesorii au arătat că demonstrația oficială este doar una dintre numeroasele căi prin care se poate ajunge la rezultat.
Soluția oficială din barem
Rezolvarea propusă de CNCE introduce un punct diametral opus și folosește proprietățile unghiurilor înscrise în semicerc, ale coardelor și ale triunghiurilor dreptunghice pentru a demonstra relația cerută.
Este demonstrația pe baza căreia profesorii corectori evaluează lucrările, dar nu este singura acceptată.
Metoda diametrului opus
Una dintre cele mai populare rezolvări publicate după examen pornește de la construirea punctului diametral opus unuia dintre punctele figurii.
Din această construcție apar imediat unghiuri drepte și un trapez isoscel, iar egalitatea diagonalelor conduce elegant la concluzia că suma pătratelor segmentelor este egală cu pătratul diametrului cercului.
Mai mulți profesori au ajuns independent la această idee, iar demonstrațiile diferă doar prin modul în care justifică proprietățile folosite.
Construcții auxiliare ingenioase
Alte rezolvări completează figura inițială cu segmente sau paralele care nu apar în enunț.
Aceste construcții transformă configurația într-un ansamblu de triunghiuri dreptunghice sau trapeze isoscele, scoțând la iveală relații care nu sunt evidente la prima vedere.
În imaginile consultate de Edupedu pe rețelele de socializare, publicate de profesori, apar mai multe astfel de variante, fiecare folosind altă idee geometrică.
Demonstrația pur algebrică
Poate cea mai surprinzătoare dintre soluțiile apărute este una aproape lipsită de artificii geometrice.
Profesorul notează cu x o distanță necunoscută și exprimă toate segmentele implicate în funcție de această variabilă.
După aplicarea teoremei lui Pitagora în mai multe triunghiuri dreptunghice și dezvoltarea expresiilor, termenii care conțin x se reduc complet, iar rezultatul final devine
AC² + BD² = 144.
UPDATE 8 iulie: Seria rezolvărilor alternative continuă. După publicarea articolului, Edupedu.ro a primit o nouă demonstrație din partea Narcisei Bândă (Nechita), fostă medaliată cu argint la Olimpiada Balcanică de Matematică pentru Juniori din 2001. Ea consideră că exercițiul „necesită creativitate” și apreciază că este potrivit pentru Evaluarea Națională tocmai pentru că „în astfel de probleme constă frumusețea matematicii”. În opinia sa, problema 4b „a ajutat la departajarea elevilor celor mai buni, departajare care în alți ani nu era făcută foarte bine”.
Noua demonstrație se adaugă celorlalte metode de rezolvare publicate până acum și o puteți vedea integral aici:
De ce este considerată o problemă „frumoasă”
În matematică, o problemă este apreciată nu doar prin gradul de dificultate, ci și prin bogăția ideilor pe care le permite.
Exercițiul de la Evaluarea Națională 2026 este un astfel de exemplu. Pornind de la aceeași figură și de la aceleași date, profesorii au ajuns la aceeași concluzie folosind demonstrații diferite: unele exclusiv geometrice, altele bazate pe construcții auxiliare, altele pe proprietăți ale cercului sau chiar pe calcule algebrice.
Faptul că în doar câteva ore după examen au apărut numeroase variante de rezolvare, prezentate în videoclipuri, pe table digitale, pe foi de lucru sau desenate de mână, arată interesul pe care această problemă l-a stârnit în comunitatea profesorilor.
11 comments
Prea puțin 2 ore pentru asemenea probleme.
Mult zgomot pentru … că nu ne-am dat seama că :
1. Într-un patrulater ortodiagonal, suma pătratelor laturilor opuse este aceeași.
2. Consecință : Într-un patrulater ortodiagonal înscris în cerc, suma pătratelor laturilor opuse este egală cu pătratul diametrului.
Aplauze d-lor profi de mate ! Ma înclin in fața cunoștințelor dvs. foarte diversificate !
Am însă niste intrebari : cati dintre dvs au lucrat ore „practice” de geometrie cu rigla, echerul si raportorul, in mâinile elevului, astfel încât sa vadă desenul corect, sa intuiasca ce linii ajutătoare ar putea trasa ca sa îl ajute sa descifreze problema ? Cate ore de desen geometric fac elevii in sc generala ca sa observe o figura geometrica si sa știe sa o interpreteze ? Cereți elevilor ceea ce le predați si deprinderi pe care le exersați cu ei.
De câte ori concepeti evaluari aduceți-va aminte de principiile pedagogice si de regulile evaluării. Afisati-le in sala in care faceți subiectele si apoi, cu entuziasm , creați. Nu uitați de elevii dvs carora le-ati aplicat deja niște evaluari.
Va mulțumesc si va rog amintiti-va de pedagogie.
In 3-4 zile mulți au început să rezolve 4b. Copiii au avut doar 2 ore, dragilor, pentru toate subiectele.
De asemenea, sa nu uitam stresul pe care sistemul educațional din Romania l-a perpetuat in ultimii ani.
Copiii nu sunt încurajați să-și dezvolte abilitățile necesare rezolvării acestui tip de exercițiu, din păcate.
Responsabilitatea este exact a celor care clamează acum soluții de rezolvare ( profesorii de mate).
Oare cati dintre cei care sar acum cu rezolvari fel de fel, ar fi reusit sa rezolve toate subiectele inclusiv aceasta problema, in timpul alocat examenului, in acelasi timp cu copii?
Dupa razboi multi viteji se arata. De acasa, relaxati, in liniste, fara limita de timp.
Triunghiul BDE nu poate fi dreptunghic, dacă BE e diametru! E o greșeală în barem!
Există și o teorema care poate fi aplicată ! Dacă P este punctul de intersecție a coardelor perpendiculare atunci PA^2 + PB^2+ PC^2+PD^2 =4R^2=144
Nu știu pentru cine a fost această problemă frumoasă dar în niciun caz pentru elevii care au susținut Evaluarea Naþională. Examenul este plin de încărcătură emoțională evidență,concentrarea copiilor este dominată de emoții,timpul alocat pentru rezolvarea tuturor subiectelor este extrem de redus,apare panica de stres,s-a ajuns prea departe cu dificultatea subiectelor la matematică,foarte multă geometrie,acum 8 ani ,prin comparație,subiectele erau reduse atât cantitativ cât și din punct de vedere al dificultății lor,timpul de examen avea 3 ore nu doar 2,este de neînțeles de ce s-a ajuns aici,de ce stresăm inutil acești copii.Care este rostul,când se vor transforma și la noi aceste Examene în admiteri formale, așa cum sunt la ora actuală,în mai toată Europa?!Ne ținem cu dinții de aceste Examene care nu au absolut nicio relevanță în viitoarea viață de adult a copiilor de-acum.
Acest tip de probleme sunt pentru olimpiadele de matematică!!!!!
Și o altă rezolvare, inedită, ar fi fost ca [CD] să treacă prin M, câtă vreme punctele C și D pot fi oriunde pe cerc, cu respectarea perpendicularității pe AB. Triunghiurile ACD și BCD sunt dreptunghice și congruente cu suma pătratelor din cerință = pătratul diametrului=144.
Vai ce problema frumoasa in tara analfabetilor functionali.
Matematica in Romania creaza anexietate, curriculum este prea teoretic, cu abstractizari care incep din clasele primare. Se invata „to the test”, cum sa rezolvi grila (sic!) 1 de la subiectul 1 etc.
In Romania 49% dintre elevii de 15 ani nu ating nivelul minim de competenta la matematica.
Felicitari! Bine ca avem probleme frumoase. Fun pentru profii de mate care se intrec in rezolvari LOL.